"Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ?"
Les données du problème sont les suivantes :
- On considère que les lapins ne meurent jamais !
- Au début du premier mois, il y a seulement deux lapereaux,
- les lapins ne peuvent avoir de lapereaux qu'à partir du troisième mois,
- et à chaque début de mois, les couples de lapins en mesure de procréer engendrent deux lapereaux.
On a donc :
* les deux premiers mois, les lapereaux restent comme ils sont, c'est à dire 1 couple.
* le troisième mois, ils engendrent un nouveau couple : ils sont donc 2 couples dans l'enclos.
* le quatrième mois, le couple de départ engendre un nouveau couple de lapereaux et le couple lors du troisième mois n'est pas encore pubère, il y a donc 3 couples de lapins.
...
En fait, le principe est simple : chaque mois, les couples pubères engendrent un nouveau couple. Mais pour avoir des enfants, ils faut qu'ils soient nés au moins 2 mois auparavant : le nombre de couples au mois N est égal à celui au mois N-1 plus celui au mois N-2 (c'est le nombre de couples pubères au mois N, qui pourront engendrer chacun un couple...)
Bon, j'espère n'avoir perdu personne en route...
Finalement on a donc :
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
si on note F(n) le nombre de couples de lapins dans l'enclos !
Et voilà voilà !!
Et numériquement ? Eh bien, calculez !!
...
Bon, je vous donne les premiers termes :
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...
On peut se demander à quoi sert une suite qui compte des lapins reproducteurs et immortels en plus ! même pas de quoi faire un petit civet... Mais je vous raconterai très bientôt ce qui se cache sous cette suite !
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