La suite de Fibonacci 2 (ou comment faire des maths avec des pommes de pin !)

Rebonjour !

Je vous avais promis tous les secrets de la suite de Fibonacci, eh bien les voilà !

Tout d'abord, cette suite un peu étrange se retrouve dans plusieurs domaines des mathématiques, et même dans la nature ! Petite démonstration :

- La pomme de pin :

L'alignement des pignons se fait selon des spirales, chaque pignon appartenant à deux spirales différentes (une vers la droite, et une vers la gauche). Si on relie ces spirales, et qu'on les compte, on s'aperçoit que leur nombre est un couple (G,D) (G est le nombre de spirales qui vont vers la gauche, et D qui tournent vers la droite) où G et D sont deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci : (5,8), (8,13) ou (13,21)... Essayez de vérifier avec la prochaine pomme de pin qui passe !

On a le même principe avec les fleurs de tournesol ou l'écorce de l'ananas ! Et même avec les coeurs de marguerite !

- Les abeilles :

Phénomène moins connu, le nombre d'ancêtres d'une abeille mâle : à chaque génération, il est égal au nombre de la suite de Fibonacci correspondant ! En effet, chez les abeilles, la reine est la seule pondeuse, et les oeufs non fécondés deviennent des mâles, alors que ceux qui sont fécondés deviennent des femelles. Les mâles ont donc seulement une mère, alors que les femelles ont un père et une mère. On a donc :

On voit bien que le nombre d'ancêtres de notre petit abeille mâle correspond à la suite de Fibonacci !

Voilà pour les exemples de la suite de Fibonacci dans la nature !

Mais cette drôle de suite a également beaucoup de rapports avec un des nombres préférés des mathématiciens : le fameux Pi !!

Pour plus d'informations sur la suite de Fibonacci dans la nature, allez voir par là !

La suite de Fibonacci (ou comment faire des maths avec des lapins !)

Leonardo Fibonacci (1175 - 1250) fut un mathématicien italien, connu principalement pour avoir posé le problème suivant :

"Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ?"

Les données du problème sont les suivantes :

- On considère que les lapins ne meurent jamais !

- Au début du premier mois, il y a seulement deux lapereaux,

- les lapins ne peuvent avoir de lapereaux qu'à partir du troisième mois,

- et à chaque début de mois, les couples de lapins en mesure de procréer engendrent deux lapereaux.

On a donc :

* les deux premiers mois, les lapereaux restent comme ils sont, c'est à dire 1 couple.

* le troisième mois, ils engendrent un nouveau couple : ils sont donc 2 couples dans l'enclos.

* le quatrième mois, le couple de départ engendre un nouveau couple de lapereaux et le couple lors du troisième mois n'est pas encore pubère, il y a donc 3 couples de lapins.

...

En fait, le principe est simple : chaque mois, les couples pubères engendrent un nouveau couple. Mais pour avoir des enfants, ils faut qu'ils soient nés au moins 2 mois auparavant : le nombre de couples au mois N est égal à celui au mois N-1 plus celui au mois N-2 (c'est le nombre de couples pubères au mois N, qui pourront engendrer chacun un couple...)

Bon, j'espère n'avoir perdu personne en route...

Finalement on a donc :

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

si on note F(n) le nombre de couples de lapins dans l'enclos !

Et voilà voilà !!

Et numériquement ? Eh bien, calculez !!

...

Bon, je vous donne les premiers termes :

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

On peut se demander à quoi sert une suite qui compte des lapins reproducteurs et immortels en plus ! même pas de quoi faire un petit civet... Mais je vous raconterai très bientôt ce qui se cache sous cette suite !

Pour en savoir plus : direction ici ! où là, où c'est vraiment très détaillé !

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Bonjour,
J'aimerais vous faire partager ma passion pour les mathématiques, et plus particulièrement les petites et grandes "histoires" de cette discipline. Il y aura (à terme) des biographies de mathématiciens, des anecdotes, des démonstrations (faciles !) plus ou moins farfelues, des rubriques sur le rapport entre les maths et la nature ou la musique...
Bonne lecture à tous, j'essaierai de mettre à jour régulièrement !

Claire